1. Мизгать – "квелиться, плакать", тверск., псковск. (Даль); связано чередованием гласных с мезга; см. Шефтеловиц, KZ 54, 243. Ср. далее мжа, мжать; согласно Буге (РФВ 72, 191), сюда же относится лит. myzgaruoti "моросить, хныкать", myzti "мочиться".
2. Мызгать – I мызгать I, -аю "шататься; скользить на льду; ерзать". Возм., новообразование от мыкать (Преобр. I, 574). II мызгать II, -аю "лаять, свистеть", олонецк. (Кулик., Рыбников). От мычать. Образовано аналогично предыдущему.