Конические сечения: специальные построения – К статье КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная прямая, проходящая через точку O (рис. 11,а), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами b и a, где b < a. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R - вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения P. Тогда геометрическим местом точек P при вращении прямой OQR вокруг точки O будет эллипс. Угол . между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а построенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями x = a cos ?, y = b sin ?. Исключая из них параметр ?, получим уравнение (3а).
Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку O, пересекает одну из двух окружностей в точке R (рис. 11,б). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке T и OR - в точке Q. Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку T, и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q, пересекаются в точке P. Тогда геометрическим местом точек P при вращении отрезка OR вокруг O будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями x = a sec ?, y = b tg ?, где . - эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А.Лежандром (1752-1833). Исключив параметр ?, мы получим уравнение (4a).
Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473-1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P, не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса - диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф.ван Схотен (1615-1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.
Б.Паскаль (1623-1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.
