Арифметика –
Арифметика (от греч. слов ariJmoV - число и tecnh - искусство) -часть математики, которая занимается изучением свойств определенныхконкретных величин; в более тесном смысле А. есть наука о числах,выраженных цифрами, и занимается действиями над числами. А. можно делитьна низшую и высшую, понимая под первой четыре основных действия с целымии дробными числами и их практические применения, учение о пропорциях,возвышение в степень, извлечение квадратных и кубичных корней и решениечисленных уравнений, между тем как высшая А. занимается исследованиемсвойств чисел вообще, деления целых чисел на части, непрерывных дробей ипр. - А. находится в тесной, неразрывной связи с алгеброй, которуюНьютон называл "Общей арифметикой"; вот почему действия - возвышение встепени, извлечение корней и решения численных уравнений, относящиесясобственно к алгебре, должны войти в состав А., рассматривая последнююкак техническую часть алгебры. Рассматривая возвышение в степень, какчастный случай умножения и принимая во внимание, что при извлечениикорней и решении численных уравнений мы производим какое-либо из четырехосновных действий, некоторые математики силились ограничить А. лишьосновными действиями, а именно: сложения, вычитания, умножения иделения, но подобное ограничение несправедливо, так как тривторостепенных действия А. производятся в известном порядке, которыйсоставляет существенную часть каждого действия. Многие писателизатруднялись разграничением алгебры от А.; так как первая занимаетсятеми же действиями, что и вторая. Приняв однако в соображение, чтоалгебра доказывает те правила, которыми А. руководствуется, и чтоалгебра имеет предметом преобразование действий одних в другие так,чтобы А. оставалось лишь исполнение самых простейших действий, можнотаким образом утверждать, что алгебра есть обобщенная А., которая, всвою очередь, есть наука о числах и свойствах вполне определенныхвеличин. История А. Трудно сказать что-либо положительное о времени и местерождения А. Многочисленные исследователи этого вопроса приписываютоткрытие истин А. различным народностям и приурочивают его к разнымэпохам. Историк Иосиф Флавий ("Древняя иудея", кн. I, гл. 8) утверждает,что еще праотец Авраам, в пребывании своем в Египте, во время голода,постигшего Ханаанскую землю, первый обучил египтян арифметике иастрономии. Платон (in Phaedro)и Диоген Лаэрций (in Proemio) тожесчитают Египет колыбелью А. и геометрии. Они говорят, что числа,числительное искусство и геометрия ниспосланы египтянам от их бога Тевта(Theut) или Тота (Thot), владевшего торговлей и числами, подобногреческому Меркурию. Другие, более позднейшие, исследователи полагают,что А. открыта халдейцами, а Страбон в своей "Географии", говорит, чтосовременники его приписывали изобретение А. финикиянам, так как онипервые стали производить обширную торговлю, которая, без сомнения,требовала некоторых познаний в счетной науке. Оставляя однако в сторонеподобные догадки, достоверным можно принять относительно историческогопроисхождения А., что люди начали считать с того самого отдаленноговремени, когда, приходя во взаимное столкновение между собою, они сталигруппироваться в общества, ибо, без сомнения, они знали число членовсвоих семейств, считали свои стада и т. п. Таким образом, начало А.должно отнести к эпохе первого проявления гражданского строя средилюдей; что же касается усовершенствования первобытных понятий осчислении, то они должны быть отнесены к гораздо позднейшим временам.Первыми историческими математиками, сознательно излагавшими А., какнауку, должны быть признаны древние греки, а именно: Евклид (7 - 10книги его "Элементов"), Диофант - математик IV ст. до Р. Х. (оставил посебе 13 трактатов, из которых до нас дошло 6) и Никомах, живший в I векедо Р. Х. В их сочинениях мы встречаемся с двумя различными терминами:Logistikh - логистика, так наз. "числительное искусство" и ariJmhtekh -арифметика - наука о свойствах чисел; очевидно, что древние грекиразличали особенными именами практическую часть А. от теоретической.Греки, обогатив А., заимствованную ими, вероятно, от египтян, передалиее через Александрийскую школу римлянам и арабам, от которых онаначинает проникать повсюду лишь в эпоху Возрождения. Открытиекнигопечатания оказало немаловажную услугу распространениюпервоначальных истин А. Насколько медленно проникали во всеобщеесознание эти истины до эпохи Возрождения, видно из того факта, что дажеу арабов, ревностных носителей "математический цивилизации", всякийзнавший едва четыре основных действия А., считался ученым математиком;при всем том число подобных ученых было весьма ограничено. С открытиякнигопечатания стали чаще появляться монографии и трактаты по А.,которые хотя не вносили ничего нового в А., унаследованную от арабов игреков, но вместе с тем получался толчок к усовершенствованию древнихметодов. В 1478 г. была напечатана в С.-Альбанс одно из выдающихсясочинений по А., под заглавием: "Rhetorica nova Gulielmi de Saona", вкотором с особой ясностью изложены простейшие действия А. или"Алгоризма", как еще называли греки А-у. почти одновременно, в 1484году, вышло прекрасное сочинение итальянца Лукаса де Бурго: "Summa deArithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita", в котором А.посвящен длинный обзор состояния этой науки до конца XV-го столетия., Сначала XVI-го века появляются все чаще мемуары по А., обогащенные новымисведениями, сравнительно с арабскими и унаследованными от Диофанта. Так,в 1686 г. вводятся десятичные дроби Симоном Стевином - весьмасущественное прибавление к так называемому Алгоризму. Голландец АльбертЖирар почти одновременно распространяет наше письменное счисление надесятичные дроби, а англичанин Райт (Wright) в 1616 г. заключил даже вскобки сложные знаки; в следующем же году, знаменитый Непер (Napier)доводить знакоположение А. до нынешнего ее состояния. Одной из самых интересных страниц истории А. должно признать вопрос осчислении. Сведения, собранные различными исследователями этого важноговопроса, сводятся к тому заключению, что почти у всех народов, споконвеков, была принята система десятеричного счисления. Джордж Пикок(Peacock) проф. кембриджского универ., приводит в своей статье об А. для"Encyclopedia metropolitana of pure mathematics" прекрасные данные осистемах счисления даже у диких племен, и там мы встречаем десятьразличных слов у каждого наречия, которые служат основанием счисления.Объяснения подобного совпадения систем должно искать в факте наличностидесяти пальцев у человека, который, на первых ступенях своего развития,естественно, прибегал к своим пальцам для выражения числа. Письменноесчисление десятью цифрами получило свое начало, как надо полагать, наВостоке, а именно: у индусов, которые передали свое искусство дляусовершенствования арабам, изучившим творения греков по "числительномуискусству". Вполне достоверно, на основании дошедших до нас памятников,что арабы еще в конце X века совершенно понимали употребление 10 цифр ине могли не сообщить своего знания всем народам, с которыми имелисношения. В начале XI века мавры, овладевшие Испанией, прилежнозанимались там математикой и особенно "Логистикой" греков и послужили,таким образом, впоследствии такими же наставниками по математике дляхристианского мира, как египтяне для греков. С появлением цифр впереводе Птолемеева "Алмагеста", изданном в Испании в 1136 г., индийское(так назыв. ныне арабское) знакоположение делается употребительнейшиммежду учеными. В общежитии, однако, римские цифры господствовали дополовины XV в., когда наступает некоторым образом эпоха смешения римскихи арабских знаков; малопомалу римские знаки уступают место арабским,среди ученых, благодаря которым арабские и делаются всеобщим достоянием.Понятно, что весьма трудно проследить весь процесс преобразования нашегосчисления; прибавим поэтому только, что А. достигла настоящей степенисовершенства лишь благодаря гениальным трудам корифеев математикипоследних двух столетий; достаточно упомянуть имена Ньютона, Лейбница,Валлиса, Эйлера и др., чтобы представить себе, сколько трудов былопотрачено, пока А. достигла той степени изящества и простоты, на которуюона возведена в настоящее время. Не безынтересно будет упомянуть, как постепенно распространялась А. внашем отечестве. Карамзин полагает ("История Госуд. Рос. ", т. X, стр.259), что первая русская А. появилась в исходе XVI ст., под следующимназванием: "Книга, рекома по-гречески Арифметика, по-немецки Алгорисма,а по-русски - Цифирная счетная мудрость". В предисловии к этомусочинению, между прочим, сказано: "Сир, сын Амноров, муж мудр бысть; сийже написал численную сию философию финическими письмены, яко же онмудрый глаголет, яко безплотна сущи начала, телеса же преминующая... Безсея книги ни един философ, ни дохтур не может быти; а кто сию мудростьзнает, может быть у государя в великой чти и в жалованьи; по сеймудрости гости по государствам торгуют и во всяких товарах и в торгахсилу знают, и во всяких весех и в мерах и в земном верстании и в морскомтечении зело искусны и счет из всякого числа перечню знают". Этовитиеватое предисловие наглядно показывает, что ничего систематическогонельзя ожидать от подобного арифметического курса. Действительно, мы тутимеем дело с обрывочными сведениями о 4-х первоначальных действиях,трактованных еще по древнему методу греков; при этом мы находим такжеримские цифры, а не арабские. С арабскими цифрами А. была впервыесочинена и опубликована у нас учителем математики на Сухаревой башне (вМоскве) Леонтием Магницким, в 1703 г. По мнению другого исследователярусской старины Голикова (см. "Дополнения к деяниям", кн. V, стр. 78),Петр Великий привез в 1698 г. из Лондона многих ученых морских офицеров,в числе коих был Фергарсон, который будто ввел впервые в России арабскиецифры. Бесспорно, что со времени великого преобразователя России А.,наравне с другими науками, получает свое направление с Запада исовершенствуется, сообразно состоянию А. у наших соседей. Благодаря жетрудам знаменитого Эйлера, бывшего академиком нашей академии наук, ицелой плеяды славных его учеников, А. вместе с алгеброй получаютсамостоятельное направление и, независимо от иностранных математиков,движутся быстрыми шагами вперед, дойдя до той формы, которую А.сохранила до настоящего времени. Мы ограничились лишь кратким обзоромистории А., отсылая читателя за подробностями к соответствующим статьям,составляющим содержание А., и к специальным сочинениям, перечисленнымнами ниже. Содержание А. Низшая А. К этому отделу причисляют обыкновенно: четыреосновных действия с целыми и дробными числами, учение об отношениях ипропорциях, тройное правило и основанные на нем: проценты, учет векселейи правила - цепное, товарищества и смешения. К высшей А. относятисследование свойств чисел вообще и деление целых чисел на части. Крометого, различают еще практическую А. от теоретической, что подходит подделение А. на низшую и высшую. Надо еще упомянуть о так называемойполитической А., под которой понимают применение общей А. к вычислениюрент, лотерей, эмеритур и пр., хотя все эти вопросы основаны,собственно, на теории вероятностей. Литература А. Евклида, "Elementa" - около конца IV стол.; Диофанта,"Arithmetica" (III в.); Никомаха, "Theologumena Arithmetices" (I в. доР. Х.); Боэций (VI ст. после Р. Х.); Сакро-Боско (1226), "Algorithmusseu Arithmeticaein troductio" (изд. в Венеции 1623); Иордан Немогарий(1524, напечатано готическим шрифтом); Стифелия, "Arithmetica Integra"(1544); Бернард Солиньяк (Solignac) (1580); Адам Риз (Reesse, 1610);ПетрАпианий (1627); Альберт Жирар (1629); Валлиса, "Arithmetica infinitorum"(1655);Ньютона, "Opera" (1666); Лейбница, "Opera" (1677); Паппа,"Collectanea Маthematica"; Лесли, "Philosophy of Mathematics"; Эйлер,Абель, Лагранж, Де-Моавр, Гаусс, Коши и др. Учебники на русском языке,Малинин и Буренин, Буссе, Леве и мн. др.
